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\section{三维含时波动方程在球坐标下的求解}
作者姓名：朱启龙          专业班级:09物本（1）班
学号：06110901020        指导老师：  高 慧 昀

摘要：本文利用行波法和分离变量法两种方法研究了三维含时波动方程在球坐标系下的初值问题并进行求解。

关键词：波动方程  ;   分离变量法  ;   行波法   ;  球坐标系

The solution of the wave equation in spherical coordinates in three-dimensional time

Candidate:ZhuQiLong      Major: phsices
Student No:06110901020   Advisor: GaoHuiYun

Abstract：This paper line wave method of separation of variables method are two ways to study the three-dimensional wave equation and solve the initial value problem in spherical coordinates.

Key words: wave equation;  Method of separation of variables ;  Traveling wave method ; Spherical coordinates
\subsection{引言}
三维含时波动方程描述了波（一种重要的描述自然界中的不同种类的波动现象的偏微分方程）在均匀各项同性弹性介质中的传播。三维含时波动方程是随时间及空间的变化而变化的。对其初值问题的求解，如按我们熟悉常微分方程求解的方法是很难求解的。因此，我们熟悉的常微分方程的求解只适用于少数的某些定解问题，运用行波法（达朗贝尔法）就能解决这个难题；但是，行波法对三维情况也很难求解，故而引人球面平均法将三维情况降至一维以便于运用行波法求解。除此之外，分离变量法也适用于大量的各种各样定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题[1-3]。

本文利用行波法和分离变量法两种方法研究了三维含时波动方程在球坐标系下的初值问题并进行求解。
\subsection{行波法求解三维含时波动方程}
由于行波法对三维含时波动方程很难直接求解，故本章希望采用某种办法将三维问题转化为一维问题.为此引入球面平均法降维[4].
如三维含时波动方程：	

\begin{align}
	u_{tt}&=a^2\Delta U(\bar{N},t),\bar{N}=(x,y,z)\in R^3,t>0\label{3DWaveEQ01}\\
	u|_{t=0}&=\phi(N),N\in R^3\label{3DWaveEQ02}\\
	u_t|_{t=0}&=\Psi(N),N\in R^3\label{3DWaveEQ03}
\end{align}

在球坐标系下，设$\phi,\theta$分别为方位角，俯仰角，$\Delta$算符的表达式为

\begin{align}
	\Delta&=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\label{3DWaveEQ04}
\end{align}
\subsubsection{球面平均法降维}
用$S_r^{N_0}$表示以$N_0$为中心，r为半径的球面，$\bar{u}_r^{N_0}$表示函数在球面$S_r^{N_0}$上的平均值，则

\begin{align}
	\bar{u}_r^{N_0}&=\frac{1}{4\pi r^2}\int\int_{S_r^{N_0}}u(N,t)dS=\frac{1}{4\pi}\int\int_{S_r^{N_0}}u(N,t)d\Omega\label{3DWaveEQ05}
\end{align}

$d\Omega=\frac{dS}{r^2}=sin\theta d\theta d\phi$是单位球面上的立体角元，则$\bar{u}$是只含有r,t的二元函数，令

\begin{align}
	\bar{u}&=S_r^{N_0}\label{3DWaveEQ06}\\
	\lim\limits_{r\to 0}\bar{u}(r,t)&=u(N_0,t)\label{3DWaveEQ07}\\
	\lim\limits_{r\to 0}\bar{u}(r,0)&=\mbox{球心}\label{3DWaveEQ08}
\end{align}

将\ref{3DWaveEQ01}式、\ref{3DWaveEQ02}式、\ref{3DWaveEQ03}式在球面上取平均值得:

\begin{align}
	\frac{\partial^2\bar{u}}{\partial t^2}&=a^2\Delta \bar{u}\label{3DWaveEQ111}\\
	\bar{u}|_{t=0}&=\bar{\phi}(r),\label{3DWaveEQ112}\\
	\bar{u}_t|_{t=0}&=\bar{\Psi}(r)\label{3DWaveEQ113}
\end{align}

由于$\bar{u}$为r和t的函数，所以在球坐标系下，由\ref{3DWaveEQ04}式可得

\begin{align}
	\Delta\bar{u}&=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial\bar{u}}{\partial r}\right)=\frac{\partial^2\bar{u}}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial\bar{u}}{\partial r}\label{3DWaveEQ114}
\end{align}

将\ref{3DWaveEQ114}式代入\ref{3DWaveEQ111}式有

\begin{align}
	\frac{\partial^2\bar{u}}{\partial t^2}&=a^2\left(\frac{\partial^2\bar{u}}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial\bar{u}}{\partial r}\right)\label{3DWaveEQ114_1}
\end{align}

即

\begin{align}
	\frac{\partial^2(r\bar{u})}{\partial t^2}&=a^2\frac{\partial^2(r\bar{u})}{\partial r^2}\label{3DWaveEQ115}
\end{align}

令

\begin{align}
	z&=r\bar{u}\label{3DWaveEQ115_1}
\end{align}

将其代入\ref{3DWaveEQ112}、\ref{3DWaveEQ113}、\ref{3DWaveEQ115}式后有

\begin{cases}
	\frac{\partial^2z}{\partial t^2}&=a^2\frac{\partial^2z}{\partial r^2},r>0,t>0\label{3DWaveEQ116_1}\\
	z|_{t=0}&=r\bar{\phi}(r),r\geqslant0\label{3DWaveEQ116_2}\\
	z'|_{t=0}&=r\bar{\Psi}(r),r\geqslant0\label{3DWaveEQ116_3}\\
	z|_{r=0}&=0,t\geqslant0\label{3DWaveEQ116_4}
\end{cases}

上式方程组就是用球面平均法降维后所得的形式。
\subsubsection{行波法求解}
到目前为止，\ref{3DWaveEQ116_1}式已变成一维r的含时齐次波动方程，此时利用行波法求解是非常方便的，其特征线方程为     

\begin{align}
	(dr)^2&=a^2(dt)^2\label{3DWaveEQ117}
\end{align}

解之得

\begin{align}
	r\pm at&=c\label{3DWaveEQ118}
\end{align}

令

\begin{align}
	\zeta&=r+at\label{3DWaveEQ121_1}\\
	\eta&=r-at\label{3DWaveEQ121_2}
\end{align}

则

\begin{align}
	\frac{\partial z}{\partial r}&=\frac{\partial z}{\partial \zeta}+\frac{\partial z}{\partial \eta}\label{3DWaveEQ121_11}\\
	\frac{\partial z}{\partial t}&=\frac{\partial z}{\partial \zeta}-\frac{\partial z}{\partial \eta}\label{3DWaveEQ121_12}\\
	\frac{\partial^2z}{\partial r^2}&=\frac{\partial^2z}{\partial \zeta^2}+2\frac{\partial^2z}{\partial \zeta\partial \eta}+\frac{\partial^2z}{\partial \eta^2}\label{3DWaveEQ121_13}\\
	\frac{\partial^2z}{\partial t^2}&=a^2\frac{\partial^2z}{\partial \zeta^2}-2a^2\frac{\partial^2z}{\partial \zeta\partial \eta}+a^2\frac{\partial^2z}{\partial \eta^2}\label{3DWaveEQ121_14}
\end{align}

代入\ref{3DWaveEQ116_1}式有

\begin{align}
	\frac{\partial^2z}{\partial \zeta\partial \eta}&=0\label{3DWaveEQ122}
\end{align}

上式对$\eta$求积分得

\begin{align}
	\frac{\partial z}{\partial \zeta}&=c(\zeta)\label{3DWaveEQ122_2}
\end{align}

继续对$\zeta$求积分得

\begin{align}
	z&=\int c(\zeta)d\zeta=f_1(\zeta)+f_2(\eta)\label{3DWaveEQ122_3}
\end{align}

将z代入\ref{3DWaveEQ116_1}式后得

\begin{align}
	z&=f_1(r+at)+f_2(r-at)\label{3DWaveEQ123}
\end{align}

又将\ref{3DWaveEQ123}式代入\ref{3DWaveEQ116_2}、\ref{3DWaveEQ116_3}式，有

\begin{align}
	z(r,0)&=f_1(r)+f_2(r)=r\bar{\phi}(r)\label{3DWaveEQ124}\\
	z_t(r,0)&=af'_1(r)+af'_2(r)=r\bar{\Psi}(r)\label{3DWaveEQ125}\\
	f'_1(r)+f'_2(r)&=\frac{1}{a}r\bar{\Psi}(r)\label{3DWaveEQ125_01}\\
\end{align}

将\ref{3DWaveEQ125_01}代入\ref{3DWaveEQ124}得

\begin{align}
	f_1(r)&=\frac{1}{2}r\bar{\phi}(r)+\frac{1}{2a}\int_{r_0}^{r}r\bar{\Psi}(a)da+\frac{c}{2},r\geqslant 0\label{3DWaveEQ125_02}\\
	f_2(r)&=\frac{1}{2}r\bar{\phi}(r)-\frac{1}{2a}\int_{r_0}^{r}r\bar{\Psi}(a)da+\frac{c}{2},r\geqslant 0\label{3DWaveEQ125_03}
\end{align}

当r=0时，由\ref{3DWaveEQ116_4}式有

\begin{align}
	0&=f_1(at)+f_2(-at),t\geqslant 0\label{3DWaveEQ125_04}\\
	f_2(r)&=-f_1(-r),r\leqslant 0\label{3DWaveEQ125_05}
\end{align}

则当$r-at\ge0$，即$t\le\frac{r}{a}$时

\begin{align}
	z(r,t)&=\frac{1}{2}[(r+at)\bar{\phi}(r+at)+(r-at)\bar{\phi}(r-at)]+\frac{1}{2a}\int_{r-at}^{r+at}a\bar{\Psi}(a)da\label{3DWaveEQ125_06}
\end{align}

当$r+at\le0$，即$t\ge\frac{r}{a}$时

\begin{align}
	f_1(r+at)&=\frac{1}{2}[(r+at)\bar{\phi}(r+at)]+\frac{1}{2a}\int_{r_0}^{r+at}(r+at)\bar{\Psi}(a)da+\frac{c}{2}\label{3DWaveEQ125_07}\\
	f_2(r-at)&=-f_1(at-r)=-\frac{1}{2}[(at-r)\bar{\phi}(at-r)]-\frac{1}{2a}\int_{r_0}^{at-r}(at-r)\bar{\Psi}(a)da-\frac{c}{2}\label{3DWaveEQ125_08}
\end{align}

代入\ref{3DWaveEQ123}式得

\begin{align}
	z(r,t)&=\frac{1}{2}[(r+at)\bar{\phi}(r+at)-(r-at)\bar{\phi}(r-at)]+\frac{1}{2a}\int_{r-at}^{r+at}a\bar{\Psi}(a)da\label{3DWaveEQ125_09}
\end{align}

因此\ref{3DWaveEQ116_1}式的解为

\begin{align}
	z&={\begin{cases}
			z(r,t)&=\frac{1}{2}[(r+at)\bar{\phi}(r+at)+(r-at)\bar{\phi}(r-at)]+\frac{1}{2a}\int_{r-at}^{r+at}a\bar{\Psi}(a)da,t\ge\frac{r}{a},t\le\frac{r}{a}\label{3DWaveEQ125_10}\\	
			z(r,t)&=\frac{1}{2}[(r+at)\bar{\phi}(r+at)-(r-at)\bar{\phi}(r-at)]+\frac{1}{2a}\int_{r-at}^{r+at}a\bar{\Psi}(a)da,t\ge\frac{r}{a}\label{3DWaveEQ125_11}
	\end{cases}}
\end{align}

又因为\ref{3DWaveEQ08}和\ref{3DWaveEQ115_1}，则

\begin{align}
	\bar{u}&=\bar{u}_r^{N_0}=\lim\limits_{r\to0}\frac{z}{r}\\
	&=\lim\limits_{r\to0}\left(\frac{1}{2r}[(r+at)\bar{\phi}(r+at)-(r-at)\bar{\phi}(r-at)]+\frac{1}{2ar}\int_{r-at}^{r+at}a\bar{\Psi}(a)da\right)\\
	&=\frac{1}{2}\left(\bar{\phi}(at)+at\frac{\partial \bar{\phi}(at)}{\partial r}+\bar{\phi}(at)+at\frac{\partial \bar{\phi}(at)}{\partial r}\right)\\
	&=\bar{\phi}(at)+at\frac{\partial \bar{\phi}(at)}{\partial r}
\end{align}

代入初始条件得

\begin{align}
	\bar{u}&=\bar{\phi}(at)+at\frac{\partial \bar{\phi}(at)}{\partial r}+t\Psi\\
	\bar{u}&=\frac{\partial}{\partial_t}\left(t\phi\right)+t\Psi
\end{align}

则$u(N_0,t)$可以写成

\begin{align}
	u(N_0,t)&=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{t}{4\pi(at)^2}\int\int_{S_r^{N_0}}\phi(N)dS+\int\int_{S_r^{N_0}}\Psi(N)dS\right)\label{3DWaveEQ126}
\end{align}

也可以将其写为

\begin{align}
	u&=u(x,y,z,t)\\
	&=\frac{1}{4\pi}\frac{\partial}{\partial t}\left(t\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\phi(x+atsin\theta cos\theta,y+atsin\theta\sin\theta,z+atcos\theta)sin\theta d\theta d\phi\right)\notag\\
	&+\frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\Psi(x+atsin\theta cos\theta,y+atsin\theta\sin\theta,z+atcos\theta)sin\theta d\theta d\phi\label{3DWaveEQ127}
\end{align}

将\ref{3DWaveEQ126}和\ref{3DWaveEQ127}式叫做三维含时波动方程的泊松公式，从这两式可以看出解在(x,y,z)处，于时刻t的值u(x,y,z,t)由以(x,y,z)为球心，at为半径的球面$S_{at}^{(x,y,z)}$上的初始扰动$\phi,\Psi$所确定.故称球面$S_{at}^{(x,y,z)}$为(x,y,z)点解值的决定区域，这是因为在球面$S_{at}^{(x,y,z)}$上的初始扰动，经过时间t刚好都传播到了点(x,y,z)处，换一种说法，在一点(x,y,z)处的初始扰动，经过时间t刚好传播在球面$S_{at}^{(x,y,z)}$上，这表示波以速度a传播[4]。
\subsection{分离变量法求解三维含时波动方程}
分离变量法是将偏微分方程分解为几个常微分方程（有些关于空间的常微分方程带有附加条件构成本征值问题）之积的形式。分离变量法适用于大量的各种各样的定解问题，本章主要针对n维空间的齐次问题（齐次方程和齐次边界问题）[5-7]。

例如三维空间的齐次问题方程\ref{3DWaveEQ01}求解。

\subsubsection{分离t,r,$\theta,\phi$ ,并求T}
对波动方程\ref{3DWaveEQ01}式分离时间变量t和空间变量r,令                                        

\begin{align}
	u(r,t)&=T(t)N(r)\label{3DWaveEQ211}
\end{align}

将其代入\ref{3DWaveEQ111}式得

\begin{align}
	\ddot{T}N&=a^2T\Delta N\label{3DWaveEQ211_2}\\
	\frac{\Delta N}{N}&=\frac{\ddot{T}}{a^2T}\label{3DWaveEQ211_4}
\end{align}

\ref{3DWaveEQ211_4}式两边分别是空间r的函数和时间t的函数，若要相等，只有两边都等于相同的常数C。令

\begin{align}
	C&=-k^2\label{3DWaveEQ211_5}
\end{align}

且$k^2$为实数，由后面的解答可以知道$k^2$是本征值或者是两个本征值相加的值。

于是有

\begin{align}
	\frac{\Delta N}{N}&=\frac{\ddot{T}}{a^2T}=-k^2\label{3DWaveEQ211_6}
\end{align}

于是得到两个微分方程

\begin{align}
	\Delta N+k^2N_1(r)&=0\label{3DWaveEQ212}\\
	\ddot{T}+k^2a^2T&=0\label{3DWaveEQ213}
\end{align}

而方程\ref{3DWaveEQ213}的解为
\begin{cases}
	T(t)&=c_1\cos kat+c_2\sin kat,k\ne0\label{3DWaveEQ214_1}\\
	T(t)&=c_1t+c_2,k=0\label{3DWaveEQ214_2}
\end{cases}

且方程式\ref{3DWaveEQ212}称为亥姆霍兹方程。

将\ref{3DWaveEQ04}式代入\ref{3DWaveEQ212}式有

\begin{align}
	\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial N}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(sin\theta\frac{\partial N}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2sin^2\theta}\frac{\partial^2N}{\partial \phi^2}+k^2N&=0\label{3DWaveEQ215}
\end{align}

继续分离变量，令

\begin{align}
	N(r,\theta,\phi)&=R(r)Y(\theta,\phi)\label{3DWaveEQ215_2}
\end{align}

代入\ref{3DWaveEQ215}式，并在等式两边同时乘以$\frac{r^2}{NY}$并移项得

\begin{align}
	\frac{1}{N}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dN}{dr}\right)+k^2r^2&=-\frac{1}{Ysin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)-\frac{1}{Ysin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\phi^2}\label{3DWaveEQ215_3}
\end{align}

左边是r的函数，右边是$\theta,\phi$的函数，则左右要相等，只有左边和右边等于同一个常数D，令

\begin{align}
	D&=l(l+1)\label{3DWaveEQ215_4}
\end{align}

则有

\begin{align}
	\frac{1}{N}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dN}{dr}\right)+k^2r^2&=-\frac{1}{Ysin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)-\frac{1}{Ysin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\phi^2}=l(l+1)\label{3DWaveEQ215_5}
\end{align}

于是得两个方程

\begin{align}
	-\frac{1}{Ysin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)-\frac{1}{Ysin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\phi^2}&=l(l+1)\label{3DWaveEQ216}\\
	\frac{1}{N}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dN}{dr}\right)+k^2r^2&=l(l+1)\label{3DWaveEQ217}
\end{align}

由\ref{3DWaveEQ214}式可知，直接分离时间变量和空间变量便可得到T(t)的函数表达式。
\subsubsection{球函数方程的求解$\theta,\phi$}
方程\ref{3DWaveEQ216}变形得球函数方程，即

\begin{align}
	\frac{1}{sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\phi^2}+l(l+1)Y&=0\label{3DWaveEQ221}
\end{align}

分离变量$\theta,\phi$，令

\begin{align}
	Y(\theta,\phi)&=\Theta(\theta)\Phi(\phi)\label{3DWaveEQ221_2}
\end{align}

将其代入球函数方程\ref{3DWaveEQ221}式有

\begin{align}
	\frac{\Theta}{sin^2\theta}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2}+
	\frac{\Phi}{sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+l(l+1)\Phi\Theta&=0\label{3DWaveEQ221_2}
\end{align}

两边同时乘以$\frac{sin^2\theta}{\Theta\Phi}$并移项有

\begin{align}
	\frac{sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+l(l+1)sin^2\theta&=-\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2}\label{3DWaveEQ221_3}
\end{align}

两边分别是$\theta,\phi$的函数，则只有左右都等于一个相同的常数E，令

\begin{align}
	E&=\omega^2=\frac{k}{m}\label{3DWaveEQ221_5}\\
	\omega&=\sqrt{\frac{k}{m}}\label{3DWaveEQ221_6}
\end{align}

即

\begin{align}
	\frac{sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+l(l+1)sin^2\theta&=-\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2}=\omega^2\label{3DWaveEQ221_7}
\end{align}

又得两个微分方程

\begin{align}
	\frac{d^2\Phi}{d\phi^2}+\omega^2\Phi&=0\label{3DWaveEQ222}\\
	sin\theta\frac{d}{d\theta}\left(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+[l(l+1)sin^2\theta-\omega^2]\Theta&=0\label{3DWaveEQ223}
\end{align}

常微分方程\ref{3DWaveEQ222}是简谐振动方程，它的解是

\begin{align}
	\Phi(\phi)&=Acos(\omega\phi+\phi_0)\label{3DWaveEQ225}
\end{align}

令

\begin{align}
	x&=cos\theta\label{3DWaveEQ226}\\
	\theta&=arccosx\label{3DWaveEQ226_2}\\
	\frac{d\Theta}{d\theta}&=\frac{d\Theta}{dx}\frac{dx}{d\theta}=-sin\theta\frac{d\Theta}{dx}\label{3DWaveEQ226_3}\\
	\frac{1}{sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)&=\frac{1}{sin\theta}\frac{dx}{d\theta}\frac{d}{dx}\left(-sin^2\theta\frac{d\Theta}{dx}\right)\\
	&=\frac{1}{sin\theta}(-sin\theta)\frac{d}{dx}\left(-sin^2\theta\frac{d\Theta}{dx}\right)\\
	&=\frac{d}{dx}\left(sin^2\theta\frac{d\Theta}{dx}\right)\\
	&=\frac{d}{dx}\left((1-x^2)\frac{d\Theta}{dx}\right)\\
\end{align}

于是\ref{3DWaveEQ223}可变为

\begin{align}
	\frac{d}{dx}\left((1-x^2)\frac{d\Theta}{dx}\right)+[l(l+1)-\frac{\omega^2}{1-x^2}]\Theta&=0\label{3DWaveEQ226_20}\\
	(1-x^2)\frac{d^2\Theta}{dx^2}-2x\frac{d\Theta}{dx}+[l(l+1)-\frac{\omega^2}{1-x^2}]\Theta&=0\label{3DWaveEQ227}\\
\end{align}

当$\omega$=0时，\ref{3DWaveEQ227}式变为

\begin{align}
	(1-x^2)\frac{d^2\Theta}{dx^2}-2x\frac{d\Theta}{dx}+l(l+1)\Theta&=0\label{3DWaveEQ228}
\end{align}

\ref{3DWaveEQ227}和\ref{3DWaveEQ228}分别叫作1阶连带勒让得方程和1阶勒让得方程。

对1阶连带勒让得方程\ref{3DWaveEQ227}运用级数解法，在$x_0=0$的邻域上求解1阶勒让得方程\ref{3DWaveEQ228}，先将其变形得

\begin{align}
	\frac{d^2\Theta}{dx^2}-\frac{2x}{1-x^2}\frac{d\Theta}{dx}+\frac{l(l+1)}{1-x^2}\Theta&=0\label{3DWaveEQ229}
\end{align}

可见它的系数

\begin{align}
	p(x)&=\frac{2x}{1-x^2}=0\\
	q(x)&=\frac{l(l+1)}{1-x^2}=l(l+1)\label{3DWaveEQ229_2}
\end{align}

都是有限值，二者在$x_0=0$一定是解析的。所以，$x_0=0$点一定是方程的常点。由常点邻域上解的定理，且其解的泰勒形式为

则


将上面的这些式子全部代入2.16,合并同幂项后各项的系数如下
